Sistemas de numeração

Em Eletrônica e Computação, as bases mais utilizadas para sistemas de numeração são:

• Binária (Base 2)
• Octal (Base 8)
• Decimal (Base 10)
• Hexadecimal (Base 16)

Uma relação entre elas pode ser visualizada na tabela a seguir

Binária	Octal	Decimal	Hexadecimal
00000	00	00	00
00001	01	01	01
00010	02	02	02
00011	03	03	03
00100	04	04	04
00101	05	05	05
00110	06	06	06
00111	07	07	07
01000	10	08	08
01001	11	09	09
01010	12	10	0A
01011	13	11	0B
01100	14	12	0C
01101	15	13	0D
01110	16	14	0E
01111	17	15	0F
10000	20	16	10
10001	21	17	11
10010	22	18	12
10011	23	19	13
10100	24	20	14

De acordo com a tabela acima, o número decimal 20 é representado por 20₁₀, isto é, escreve-se o número e um índice indicando a base em que está representado. Tem-se portanto, a seguinte equivalência:

10100₂ = 24₈ = 20₁₀ = 14₁₆

Conversões entre as bases 2, 8 e 16

As conversões mais simples são as que envolvem bases que são potências entre si. Vamos exemplificar com a conversão entre a base 2 e a base 8. Como 2³ = 8, separando os bits de um número binário em grupos de tres bits (começando sempre da direita para a esquerda!) e convertendo cada grupo de tres bits para seu equivalente em octal, teremos a representação do número em octal. Por exemplo:

10101001₂ = 10.101.001₂ (separando em grupos de 3, sempre começando da direita para a esquerda)
Sabemos que 010₂ = 2₈ ; 101₂ = 5₈ ; 001₂ = 1₈ portanto 10101001₂ = 251₈

Se você ainda não sabe de cor, faça a conversão utilizando a regra geral. Vamos agora exemplificar com uma conversão entre as bases 2 e 16. Como 2⁴ = 16, basta separarmos em grupos de 4 bits (começando sempre da direita para a esquerda!) e converter. Por exemplo:

11010101101₂ = 110.1010.1101₂ (separando em grupos de 4 bits, sempre começando da direita para a esquerda)
Sabemos que 110₂ = 6₁₆; 1010₂ = A₁₆ ; 1101₂ = D₁₆ ; portanto 11010101101₂ = 6AD₁₆

Vamos agora exercitar a conversão inversa. Quanto seria 3F5H (lembrar que o H está designando "hexadecimal") em octal? O método mais prático seria converter para binário e em seguida para octal.

3F5H = 11.1111.0101₂ (convertendo cada dígito hexadecimal em 4 dígitos binários) =
= 1.111.110.101₂ (agrupando de tres em tres bits) =
= 1765₈ (convertendo cada grupo de tres bits para seu valor equivalente em octal).

Conversão de Números em uma base b qualquer para a base 10Vamos lembrar a expressão geral já apresentada:

N_b = a_n.bⁿ + .... + a₂.b² + a₁.b¹ + a₀.b⁰ + a_-1.b^-1 + a_-2.b^-2 + .... + a_-n.b^-n

A melhor forma de fazer a conversão é usando essa expressão. Tomando como exemplo o número 101101₂, vamos calcular seu valor representado na base dez. Usando a expressão acima, fazemos:

101101₂ = 1x2⁵ + 0x2⁴ + 1x2³ + 1x2² + 0x2¹ + 1x2⁰ = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45₁₀

Podemos fazer a conversão de números em qualquer base para a base 10 usando o algoritmo acima.

Conversão de Números da Base 10 para uma Base b qualquerA conversão de números da base dez para uma base qualquer emprega algoritmos que serão o inverso dos acima apresentados. Os algoritmos serão melhor entendidos pelo exemplo que por uma descrição formal. Vamos a seguir apresentar os algoritmos para a parte inteira e para a parte fracionária:


Parte Inteira:O número decimal será dividido sucessivas vezes pela base; o resto de cada divisão ocupará sucessivamente as posições de ordem 0, 1, 2 e assim por diante até que o resto da última divisão (que resulta em qüociente zero) ocupe a posição de mais alta ordem. Veja o exemplo da conversão do número 19₁₀ para a base 2:

Experimente fazer a conversão contrária (retornar para a base 10) e ver se o resultado está correto.
Parte FracionáriaSe o número for fracionário, a conversão se fará em duas etapas distintas: primeiro a parte inteira e depois a parte fracionária. Os algoritmos de conversão são diferentes. O algoritmo para a parte fracionária consiste de uma série de multiplicações sucessivas do número fracionário a ser convertido pela base; a parte inteira do resultado da primeira multiplicação será o valor da primeira casa fracionária e a parte fracionária será de novo multiplicada pela base; e assim por diante, até o resultado dar zero ou até encontrarmos o número de casas decimais desejado.  No caso de interrupção por chegarmos ao número de dígitos especificado sem encontramos resultado zero, o resultado encontrado é aproximado e essa aproximação será função do número de algarismos que calcularmos. Fazendo a conversão inversa, encontraremos:
Com 5 algarismos fracionários:
Parte inteira: 1111₂ = 15₁₀
Parte fracionária: 0,10100₂ = 1x2^-1 + 0x2^-2 + 1x2^-3 + 0x2^-4 + 0x2^-5 = 0,5 + 0,125 = 0,625₁₀
Com 10 algarismos fracionários:
Parte inteira: 1111₂ = 15₁₀
Parte fracionária: 0,1010011001₂ = 1x2^-1 + 0x2^-2 + 1x2^-3 + 0x2^-4 + 0x2^-5 + 1x2^-6 + 1x2^-7 + 0x2^-8 + 0x2^-9 + 1x2^-10 = 1/2 + 1/8 + 1/64 + 1/128 + 1/1024 = 0,5 + 0,125 + 0,015625 + 0,0078125 + 0,0009765625 = 0,6494140625₁₀
Ou seja, podemos verificar (sem nenhuma surpresa) que, quanto maior número de algarismos forem considerados, melhor será a aproximação.


Conversão de Números entre duas Bases quaisquerPara converter números de uma base b para uma outra base b' quaisquer (isso é, que não sejam os casos particulares anteriormente estudados), o processo prático utilizado é converter da base b dada para a base 10 e depois da base 10 para a base b' pedida.


fontes: http://www.inf.ufsc.br/ine5365/sistnum.html
          http://wwwusers.rdc.puc-rio.br/rmano/sn2cvb.html